En este curso daremos los principales teoremas de clasificación de superficies completas con curvatura de Gauss o media constante.

Comenzaremos recordando algunas generalidades sobre superficies en el espacio euclídeo, como por ejemplo la obtención de las ecuaciones de estructura, que se usarán a lo largo del curso, o la noción de índice de un campo de vectores.

Seguiremos con la clasificación de superficies completas con curvatura de Gauss constante. Continuaremos con los principales resultados de clasificación de superficies de curvatura media constante, entre ellos, los Teoremas de Hopf y Alexandrov; Klotz-Ossermann y la teoría de clasificación de superficies de curvatura media constante propiamente embebidas de Korevaar-Kusner-Meeks-Solomon. 

Los contenidos del curso serán 

1. Superficies en R^3; ecuaciones de estructura
2. Superficies en R^3; índice de campo de vectores y Teorema de Gauss-Bonnet
3. Clasificación de superficies de curvatura de Gauss constante; Teorema de Liebman
4. Clasificación de superficies de curvatura de Gauss constante; Teorema de Pogorelov / Hartman-Nirenberg
5. Clasificación de superficies de curvatura de Gauss constante; Teorema de Hilbert
6. Clasificación de superficies de curvatura media constante; Teorema de Hopf
7. Clasificación de superficies de curvatura media constante; Teorema de Klotz-Osserman
8. Principio de Reflexión de Alexandrov y Principio del Máximo Geométrico
9. Clasificación de superficies de curvatura media constante; Teorema de Alexandrov
10. Estimación de Altura Geométrica
11. Lema de Separación de Meeks
12. Clasificación de superficies de curvatura media propiamente embebidas

Es recomendable que los alumnos tengan competencias en:

• EDO
• Geometría diferencial
• Análisis complejo (nociones básicas que veremos en clase)
• EDP (principio del máximo, nociones básicas que veremos en clase)

La metodología será la usual en estos casos; serán clases presenciales si las condiciones lo permiten; en otro caso, prepararemos clases virtuales a través de alguna de las plataformas disponibles.

A lo largo del curso se dejara a los alumnos algunas partes del curso para que ellos mismos preparen algunos resultados que no se demostrarán en clase. Cada alumno deberá preparar un trabajo y hacer una presentación de 15 minutos con las ideas principales.

A lo largo del curso se proporcionarán notas en pdf sobre los temas a tratar. Además, así nos preparamos para cualquier contingencia en clases de forma virtual.

Ademas de las notas y las referencias que estan en ellas, seguiremos los siguientes libros:

- H. Hopf. Differential geometry in the large, volume 1000. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1983.

- Robert Osserman,  A Survey of Minimal Surfaces, Dover Publications, 2002.

- Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, Publish or Perish, inc., 1979.