La ecuación Korteweg-de Vries es una ecuación en derivadas parciales que se deriva de las ecuaciones básicas de la hidrodinámica, en particular, de las ecuaciones de Euler, suponiendo que la propagación de pequeñas amplitudes de ondas largas es unidireccional, propagándose en el agua superficialmente con dispersión y no linealidad débil. En particular, la ecuación Korteweg-de Vries se obtiene bajo la suposición de que el conducto sea de profundidad y anchura  constante. La ecuación Korteweg-de Vries es una ecuación de gran interés en física, de ahí el interés por obtener soluciones del modelo. En condiciones geofísicas más realistas (profundidad variable, presencia de viscosidad, fluido comprensible, etc.) se obtienen otras ecuaciones más generales. 

Utilizaremos uno de los métodos más eficiente para obtener soluciones exactas de ecuaciones en derivadas parciales que es el método de las transformaciones puntuales o método clásico Lie.

• Desarrollar y aplicar métodos matemáticos a un modelo matemático descrito por una ecuación en derivadas parciales.
• Entender el concepto de simetría, su significado geométrico así como sus aplicaciones en el estudio de ecuaciones en derivadas parciales.
• Obtención de soluciones tipo ondas viajeras del modelo.
• Determinación de leyes conservativas.

1. La ecuación de Korteweg de Vries: soluciones tipo ondas viajeras.
2. Cálculo de simetrías locales con el software Maxima y Maple.
3. Obtención de leyes conservativas con el software Maxima y Maple.
4. Ecuación generalizada de Korteweg de Vries como modelo no lineal en dinámica de fluidos.
5. Aplicación de las simetrías a una ecuación generalizada de Korteweg de Vries para la obtención de soluciones solitónicas.

CG1. Saber aplicar los conocimientos adquiridos y desarrollar la capacidad en la resolución de problemas en entornos nuevos o pocos conocidos dentro de contextos más amplios (o multidisciplinares) relacionados con la Matemática Aplicada.

CG2. Ser capaz de integrar conocimientos y enfrentarse a la complejidad de formar juicios a partir de una información que, siendo incompleta o limitada, incluya reflexiones sobre las responsabilidades sociales y éticas vinculadas a la aplicación de sus conocimientos y juicios.

CG3. Ser capaz de comunicar sus conclusiones (y los conocimientos y razones últimas que los sustentan) a públicos especializados y no especializados de un modo claro y sin ambigüedades, utilizando en su caso, los medios tecnológicos y audiovisuales adecuados.

CG4. Poseer las habilidades de aprendizaje que les permita continuar estudiando de un modo que habrá de ser en gran medida autodirigido o autónomo.

CG5. Utilizar con soltura herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos.

CG6. Usar el inglés, como lengua relevante en el ámbito científico.

CG7. Saber trabajar en equipo y gestionar el tiempo de trabajo.

CE1. Saber analizar y construir demostraciones, así como transmitir conocimientos matemáticos avanzados.

CE2. Tener capacidad para elaborar y desarrollar razonamientos matemáticos avanzados.

CE3. Asimilar la definición de un nuevo objeto matemático, en términos de otros ya conocidos y ser capaz de utilizar este objeto en diferentes contextos.

CE4. Saber abstraer las propiedades estructurales (de objetos matemáticos, de la realidad observada y del mundo de las aplicaciones) distinguiéndolas de aquellas puramente ocasionales y poder comprobarlas o refutarlas.

CE5. Resolver problemas matemáticos avanzados, planificando su resolución en función de las herramientas disponibles y de las restricciones de tiempo y recursos.

CE6. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos matemáticos complejos, utilizando las herramientas más adecuadas a los fines que se persigan.

CE7. Saber elegir y utilizar aplicaciones informáticas, de cálculo numérico y simbólico, visualización gráfica, optimización u otras, para experimentar en matemáticas y resolver problemas complejos.

CE8. Desarrollar programas informáticos que resuelvan problemas matemáticos avanzados, utilizando para cada caso el entorno computacional adecuado.

CE9. Conocer los problemas centrales, la relación entre ellos y las técnicas más adecuadas en los distintos campos de estudio, así como las demostraciones rigurosas.

Este curso se llevará a cabo con una metodología teórico-práctica, la cual consistirá en la exposición de los temas por parte del profesor, realización y discusión de ejercicios y problemas por parte de los alumnos utilizando el programa Maxima.

Para la enseñanza de la asignatura se proponen las siguientes actividades formativas:

• Clases teóricas (30%)
• Clases prácticas y seminarios (30%)
• Tutorías (presenciales: 5%, online: 5%)
• Actividades individuales: Exposiciones (5%) y Realización de problemas (25%)

Procedimientos para la evaluación:

1. Participación.
2. Análisis de contenido de los trabajos individuales y grupales realizados en las clases prácticas, en los seminarios de las actividades de evaluación y tutorías.
3. El estudio de las simetrías locales y leyes conservativas de una ecuación Korteweg-de Vries modificada realizado por el alumno. Para ello tendrá que aplicar los conceptos aprendidos en el curso.
4. Otros procedimientos para evaluar la participación del estudiante en las diferentes actividades planificadas.

La calificación global será "Apto" o "No apto" y responderá a la puntuación ponderada de los diferentes aspectos y actividades que integran el sistema de evaluación, de manera general se indica la siguiente ponderación:

1. Trabajos individuales y grupales: 40%
2. Prácticas y/o problemas: 30%
3. Actividades en seminarios : 15%
4. Otras actividades: 15%

1. Bluman, G.W. and Kumei, S., 1989. Symmetries and differential equations, Berlin, Springer.

2. Bluman  G. W. and Anco S. C., 2002. Symmetry and Integration Methods for Differential Equations, Springer, New York.

3. Bruzón, M.S. and Gandarias, M.L. 2003. Symmetry Reductions for a Dissipation-Modified KdV Equation. Appl. Math. Lett. 16, 155-159.

4. Champagne, B., Hereman, W. and Winternitz, P., 1991. The computer calculation of Lie point symmetries of large systems of differential equations, Comp. Phys. Comm., 66, 319-340.

5. Hydon, P.E., 2000. Symmetry methods for Differential Equations: A beginner's guide, Cambridge University Press.

6. Ibragimov. N.I. 2004. A practical course in differential equations and mathematical modelling.

7. Olver, P. J., 1986. Applications of Lie Groups to Differential Equations, New York; Springer.

8. Rosenau P. and Hyman J M. 1993 Compactons: Solitons with finite wavelength,Phys. Rev. Lett., 70, 564-567.