En este curso se proporcionan herramientas de Maple para el tratamiento de ecuaciones diferenciales con técnicas de geometría diferencial y teoría de Lie.

Tema 1. Corchete de Lie y derivada de Lie.                                                                           

Tema 2. Diferencial exterior. 

Tema 3. Transformaciones entre variedades.

Tema 4. Pullback y Pushforward.

GENERALES:

• CB-1: Demostrar poseer y comprender conocimientos en el área de las Matemáticas a partir de la base de la educación secundaria general, a un nivel que, si bien se apoya en libros de texto avanzados, incluye también algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia en el estudio de las Matemáticas.
• CB-2: Saber aplicar los conocimientos matemáticos a su trabajo o vocación de una forma profesional y poseer las competencias que suelen demostrarse por medio de la elaboración y defensa de argumentos y la resolución de problemas dentro del área de las Matemáticas.
• CG-1: Comprender y utilizar el lenguaje matemático. Adquirir la capacidad para enunciar proposiciones en distintos campos de la Matemática, para construir demostraciones y para transmitir los conocimientos matemáticos adquiridos.
• CG-2: Conocer demostraciones rigurosas de algunos teoremas clásicos en distintas áreas de la Matemática.
• CG-5: Aprender de manera autónoma nuevos conocimientos y técnicas.

ESPECÍFICAS:

• CE-1: Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
• CE-2: Resolver problemas de Matemáticas, mediante habilidades de cálculo básico y otros, planificando su resolución en  función de las herramientas de que se disponga y de las restricciones de tiempo y recursos.
• CE-4: Desarrollar programas que resuelvan problemas matemáticos utilizando para cada caso el entorno computacional adecuado.
• CE-5: Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos en Matemáticas.
• CE-6: Comunicar, tanto por escrito como de forma oral, conocimientos, procedimientos, resultados e ideas Matemáticas.

La metodología consistirá en plantear preguntas y proponer temas y ejercicios al alumno, proporcionando las fuentes bibliográficas en las que puede encontrar las respuestas. El alumno expondrá semanalmente en un seminario los progresos obtenidos. El profesor evalúa el nivel alcanzado en la consecución de objetivos, complementando los aspectos necesarios. El profesor propone la creación de materiales adicionales que permitan comprender, visualizar o automatizar el tratamiento de los problemas.

Se tendrá en cuenta la adecuación de los contenidos del curso a la temática de su proyecto de tesis doctoral y su expediente académico y formativo.

Se valorará la asistencia a clase, las exposiciones en los seminarios y la entrega de los materiales multimedia y ejercicios resueltos. La calificación será "Apto" o "No apto".

[1] P. Basarab-Horwath. Integrability by quadratures for systems of involutive vector fields. Ukrainian Math. Zh., 43:1330-1337, 1991.

[2] G.W. Bluman and J.D. Kumei. Symmetries and Differential Equations. Berlin, 1989.

[3] G.W. Bluman and S. C. Anco. Symmetry and Integration Methods for Differential Equations. Springer-Verlag, 2002.

[4]  R. Bryant et al. Exterior Differential Systems, Springer-Verlag, 1991.

[5] S.S. Chern et al. Lectures on Differential Geometry, World Scientific Publishing Company, 1999.

[6] P.J. Olver. Applications of Lie groups to differential equations. Springer-Verlag,1993.

[7] H. Stephani. Differential equations: their solution using symmetries. Cambridge University Press, Cambridge, 1989.

Curso dirigido a estudiantes del programa de doctorado en Matemáticas con conocimientos en la teoría de los grupos de simetrías de Lie o que hayan cursado algunos de los siguientes cursos como actividad formativo de Doctorado de la Universidad de Cádiz:

1. ALGORITMOS PARA EL ESTUDIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
2. INICIACIÓN A LA LABOR INVESTIGADORA: TÉCNICAS DE INVARIANCIA BAJO OPERADORES DIFERENCIALES EN EL TRATAMIENTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES
3. TÉCNICAS ANALÍTICAS EN EL ESTUDIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES. NIVEL AVANZADO
4. ECUACIONES DIFERENCIALES: UN ENFOQUE GEOMÉTRICO