La Teoría de Códigos es un área de investigación que está experimentando en la actualidad un enorme desarrollo. En este curso abordamos el estudio de la decodificación con el uso de técnicas algebraicas. Estás técnicas han sido desarrolladas recientemente.

El curso se ha planteado como un curso introductorio sobre el uso de herramientas de álgebra computacional y su aplicación a la decodificación de códigos lineales. En este curso tratamos de fomentar la transversalidad de las matemáticas dotando al alumno de los siguientes conocimientos y destrezas:

1. Capacidad de resolver problemas de distintas áreas de conocimiento con técnicas de álgebra computacional.
2. Conocimientos básicos de objetos y herramientas computacionales relacionados con el ideal de un semigrupo finitamente generado.
3. Conocimiento y manejo de software para la resolución de problemas.

Introducir al alumno en el ámbito de investigación del álgebra computacional mediante su aplicación básica a codificación/descodificación de códigos lineales.

Tema 1.- Introducción a los códigos lineales.

1.1.- Conceptos básicos de Teoría de Códigos. 

1.2.- Códigos lineales modulares.

Tema 2.- Bases de Gröbner.

2.1.- Ideales de polinomios. 

2.2.- Introducción a las bases de Gröbner.

Tema 3.- Ideales de semigrupos y códigos lineales.

3.1.- Ideales de semigrupos.

3.2.- Aplicación a la codificación/decodificación de códigos lineales.

• Capacidad de estudiar la codificación/descodificación de un código lineal a partir de herramientas del álgebra computacional.
• Capacidad de aplicar dichas herramientas a la resolución de problemas relacionados con otras áreas de conocimiento.

Las clases presenciales serán teórico-prácticas presentándose los conceptos necesarios para alcanzar los objetivos del curso. La introducción de las diversas definiciones, propiedades y herramientas se realizarán de manera práctica, centrándonos en la resolución de problemas concretos. Este planteamiento permite que el curso pueda ser seguido por alumnos de distintas disciplinas.

Dada la alta complejidad computacional de los problemas que se abordarán (NP-completos), es importante el uso de ordenadores para la resolución de los ejemplos que plantearemos. Por ello, parte del desarrollo de las clases se realizará mediante el uso de ordenadores. En estas clases, se mostrará el funcionamiento del software y los alumnos practicarán mediante la resolución de problemas concretos.

Si el curso se tiene que impartir, total o parcialmente, de manera no presencial, las clases serán on-line utilizado todos los medios técnicos necesarios para ello (campus virtual, Google Meet, Zoom, etc.).

Será obligatoria la asistencia al 80% de las clases presenciales.

Para superar el curso, el alumno realizará en clase una breve presentación sobre algún tema relacionado con el curso. Si por alguna causa justificada el alumno no pudiese hacer la presentación, podrá optar por la entrega de un trabajo consensuado con los profesores y relacionado con los contenidos del curso.

Cox, David A.; Little, John; O'Shea, Donal. Ideals, varieties, and algorithms. An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra. Fourth edition. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, Cham, 2015.

Lint, J.H.. Introduction to Coding Theory. Springer-Verlag Berlin, 1999.

Sturmfels, B. Gröbner bases and convex polytopes. University Lecture Series, 8. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.

Wolfram Research, Inc., Mathematica, Version 11.3, Champaign, IL (2018).

El curso se plantea como una introducción, a estudiantes de diferentes áreas de la ciencia, de diversas técnicas matemáticas de resolución de problemas, por lo que puede ser seguido tanto por matemáticos, como físicos, químicos, ingenieros, informáticos, etc.