Se trata de un curso avanzado sobre el tratamiento de ecuaciones diferenciales desde un punto de vista geométrico.  Se introducirán las nociones y resultados teóricos básicos de geometría diferencial y sistemas exteriores y sus conexiones con la teoría de Lie. 

Se pretende fomentar la destreza de los alumnos en los siguientes aspectos:

- Saber buscar, seleccionar y utilizar diferente material bibliográfico.

- Adquirir autonomía para crear sus propios materiales que faciliten la adquisición de  conocimiento.

- Aprender a ensayar diferentes técnicas en ejemplos concretos, a comparar la eficacia de los métodos y a diseñar estrategias de resolución.

- Saber explicar y exponer los resultados obtenidos, con materiales adecuados.

Tema 1. Sistemas exteriores

Tema 2. Ecuaciones diferenciales reformuladas como  sistemas exteriores.

Tema 3. Teorema de Frobenius. Teorema de Pfaff.

Tema 4. Distribuciones de campos vectoriales y simetrías.

Tema 5. Dos paquetes de Maple: DifferentialGeometry y ExteriorDifferentialSystems.

CB11, CB12, CB14, CA02 y CA06

La metodología consistirá en plantear preguntas y proponer temas y ejercicios al alumno, proporcionando las fuentes bibliográficas en las que puede encontrar las respuestas. El alumno expondrá semanalmente en un seminario los progresos obtenidos. El profesor evalúa el nivel alcanzado en la consecución de objetivos, complementando los aspectos necesarios. El profesor propone la creación de materiales adicionales que permitan comprender, visualizar o automatizar el tratamiento de los problemas.

Se tendrá en cuenta la adecuación de los contenidos del curso a la temática de su proyecto de tesis doctoral y su expediente académico y formativo.

Curso dirigido a estudiantes del programa de doctorado en Matemáticas con conocimientos en la teoría de los grupos de sinetrías de Liy o que hayan cursado algunos de los siguientes cursos como actividad formativo de Doctorado de la Universidad de Cádiz:

1: ALGORITMOS PARA EL ESTUDIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

2: INICIACIÓN A LA LABOR INVESTIGADORA: TÉCNICAS DE INVARIANCIA BAJO OPERADORES DIFERENCIALES EN EL TRATAMIENTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES.

3: TÉCNICAS ANALÍTICAS EN EL ESTUDIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES. NIVEL AVANZADO

Será obligatoria la asistencia a clase, las exposiciones en los seminarios y la entrega de los materiales multimedia y ejercicios resueltos. La calificación será apto o no apto.

[1] P. Basarab-Horwath. Integrability by quadratures for systems of involutive vector fields. Ukrainian Math. Zh., 43:1330-1337, 1991.

[2] G.W. Bluman and J.D. Kumei. Symmetries and Differential Equations. Berlin, 1989.

[3] G.W. Bluman and S. C. Anco. Symmetry and Integration Methods for Differential Equations. Springer-Verlag, 2002.

[4]  R. Bryant et al. Exterior Differential Systems, Springer-Verlag, 1991.

[5] S.S. Chern et al. Lectures on Differential Geometry, World Scientific Publishing Company, 1999.

[6] P.J. Olver. Applications of Lie groups to differential equations. Springer-Verlag, 1993.

[7] H. Stephani. Differential equations: their solution using symmetries. Cambridge University Press, Cambridge, 1989.