El curso se plantea como una introducción, a estudiantes de diferentes áreas de la ciencia, de diversas técnicas matemáticas de resolución de problemas, por lo que puede ser seguido tanto por matemáticos, como físicos, químicos, ingenieros, informáticos, etc.

Introducir al alumno en el ámbito de investigación del álgebra computacional mediante una aproximación práctica a la resolución de distintos tipos de sistemas de ecuaciones.

La  resolución de problemas relacionados con la investigación científica pasa, con enorme frecuencia, por la modelización a través de sistemas de ecuaciones del problema estudiado. En este contexto es muy importante conocer herramientas que permitan la resolución de los sistemas obtenidos.

El curso se ha planteado como un curso introductorio sobre la resolución de problemas de distintas áreas con herramientas de álgebra computacional. En particular, utilizaremos herramientas relacionadas con la resolución de sistemas de ecuaciones polinomiales y sistemas de ecuaciones diofánticas lineales. En este curso tratamos de fomentar la transversalidad de las matemáticas dotando al alumno de los siguientes conocimientos y destrezas:

1.- Capacidad de resolver problemas de distintas áreas de conocimiento con técnicas de álgebra computacional.

2.- Conocimientos básicos de objetos y herramientas computacionales relacionados con el ideal de un semigrupo finitamente generado.

3.- Conocimiento y manejo de software libre para la resolución de problemas.

Temario:

Tema 1.- Bases de Gröbner.

1.1.- Introducción a las bases de Gröbner. 

1.2.- Aplicación a la resolución de sistemas polinomiales.

Tema 2.- Semigrupos afines.

2.1.- Ideales de semigrupos.

2.2.- Aplicación al cálculo de N-soluciones de sistemas diofánticos.

2.3.- Aplicación a la programación lineal entera (problema del transporte).

Capacidad de plantear y resolver problemas de distintas áreas de conocimiento con herramientas de álgebra computacional.

Las clases presenciales serán teórico-prácticas presentándose los conceptos necesarios para alcanzar los objetivos del curso. La introducción de las diversas definiciones, propiedades y herramientas se realizarán de manera práctica, centrándonos en la resolución de problemas concretos. Este planteamiento permite que el curso pueda ser seguido por alumnos de distintas disciplinas.

Dada la alta complejidad computacional de los problemas que se abordarán (NP-completos), se hace indispensable el uso de ordenadores para la resolución de los ejemplos que plantearemos. Para profundizar en el manejo del software propuesto y ayudar al alumno en su uso, se pone a disposición del alumnado una serie de tutorías no presenciales (on-line). En ellas se mostrará el funcionamiento de los programas y se atenderán las dudas de los alumnos.

Se usará en campus virtual para el intercambio de los materiales del curso, para la realización de autoevaluaciones y para la realización de las tutorías on-line.

Estudiantes de programas de doctorado de áreas científico-técnicas.

El curso está dirigido a estudiantes de los programas de Doctorado en Matemáticas, en Biomoléculas y en Fabricación, Materiales e Ingeniaría Ambiental, y de cualquier programa de doctorado de carácter científico-técnico.

Será obligatoria la asistencia al 80% de las clases presenciales.

Para superar el curso, el alumno podrá elegir una de las siguientes modalidades de evaluación: 

A) Realización en clase de una breve presentación sobre algún tema relacionado con el curso.

B) Superación de una evaluación sobre los contenidos del curso.

ti2 team. 4ti2---A software package for algebraic, geometric and combinatorial problems on linear spaces. Available at www.4ti2.de.

Becker, T. Gröbner bases: a computational approach to commutative algebra. Springer-Verlag, 1993.

Cox, David A.; Little, John; O'Shea, Donal. Ideals, varieties, and algorithms. An introduction to computational algebraic geometry and commutative algebra. Fourth edition. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer, Cham, 2015.

Python Software Foundation. Python Language Reference, version 3.5. Available at http://www.python.org

Sturmfels, B. Gröbner bases and convex polytopes. University Lecture Series, 8. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.